Sở GD & ĐT Thừa Thiên Huế
Trường THPT Bình Điền

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán – Lớp: 9
Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1: (4 điểm)
1) Cho biểu thức:

a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
2) Giải phương trình:


Câu 2: ( 4 điểm)
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2 2) Cho a > c; b > c; c > 0. Chứng minh:



Câu 3: (4 điểm) Cho phương trình: 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0.
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm.
b) Gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = (2x1x2 + x1 + x2 (

Bài 4:( 5 điểm) Tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF gặp nhau tại H. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau tại G. Chứng minh rằng:
a) GH đi qua trung điểm M của BC.
b) ∆ABC ~ ∆AEF.
c)
.
d) H cách đều các cạnh của tam giác (DEF.
Bài 5: ( 3 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của n ta luôn có:


b) Áp dụng tổng:


--------------HẾT-------------



Sở GD & ĐT Thừa Thiên Huế
Trường THPT Bình Điền

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI
Môn: Toán – Lớp: 9
Thời gian làm bài: 150 phút.







Câu 1.1
2 điểm
a) ĐK:
và

Ta có:

=

=


b) Ta có:

(Vì
với
)

đạt được khi


0,5 điểm

0,5 điểm




0,5 điểm


0,5 điểm



Câu 1.2
2 điểm
ĐK:

Ta có:





(TM)
Vậy nghiệm PT Là

0,5 điểm

0,75 điểm

0,75 điểm





Câu 2.1
2 điểm
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2x2 + 4x = 19 - 3y2 <=> 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2
<=> (2x + 2)2 = 6(7 - y2)
Vì (2x + 2)2
0 => 7 - y2
0 => 7
y2 mà y
Z => y =

+ Với y = 1 => (2x + 2)2 = 6(7 - 1) <=> (2x + 2)2 = 36
x1 = 4; x2 = 2.
+ Với y = 1 => (2x + 2)2 = 6(7 - 1) <=> (2x + 2)2 = 36
x1 = 4; x2 = 2
+ Với y =
2 =>2x2 + 4x - 7 = 0 => x1, x2
Z (loại)
+ Với y = 0 =>2x2 + 4x - 19 = 0 => x1, x2
Z (loại)
Vậy cặp nghiệm (x, y) của phương trình là4; 1); 4; 1); (2; 1); (2; 1).


0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm





Câu 2.2
2 điểm
Ta có:


Áp dụng bất đảng thức Côsy ta có:

Vậy:
(ĐPCM)

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm





Câu 3:
4 điểm






















Câu 4
5 điểm







a) Vì phương trình đã cho là phương trình bậc hai nên có 2 nghiệm khi và chỉ khi:
(’ = m2 - 2(m2 - 2) ( 0 ( 4